En Bref : Comment Savoir si un Nombre Appartient à un Intervalle ?
Pour vérifier si un réel \(x\) appartient à un intervalle donné, comparez-le directement aux bornes en respectant la règle des crochets : un crochet tourné vers l’intérieur ([ ou ]) inclut la borne, un crochet tourné vers l’extérieur (] ou [) l’exclut. Transformez la notation de l’intervalle en une double inégalité et vérifiez si \(x\) la satisfait. En cas de doute, une représentation sur une droite graduée est imparable.
Le Langage des Intervalles : Une Question de Crochets et d’Inégalités
En mathématiques, un intervalle est bien plus qu’une paire de nombres entre parenthèses. C’est un outil fondamental pour décrire des ensembles de solutions, des domaines de définition ou simplement des plages de valeurs. Savoir déterminer si un nombre \(x\) appartient à un intervalle donné est une compétence de base, mais souvent source d’erreurs à cause d’une méconnaissance du code simple que constituent les crochets.
La logique est pourtant implacable et universelle. Je vais vous montrer la méthode systématique, celle que j’utilise moi-même sur les forums quand un élève est bloqué. On commence toujours par la réponse directe (la comparaison), puis on approfondit.
La Règle d’Or : Crochet Fermé = Borne Incluse
Tout se joue sur le sens du crochet. Oubliez « carré » ou « rond », pensez plutôt à sa direction par rapport au nombre qu’il encadre.
📌 Points Clés à Retenir
- Crochet tourné VERS le nombre ( [ ou ] ) = la borne est INCLUSE. On utilise le signe ≤ ou ≥.
- Crochet tourné À L’OPPOSÉ du nombre ( ] ou [ ) = la borne est EXCLUE. On utilise le signe < ou >.
- L’infini (∞) est toujours associé à un crochet ouvert car il n’est pas un nombre atteignable.
- La vérification finale est une simple question de logique : \(x\) doit satisfaire simultanément les deux conditions aux bornes.
Le tableau ci-dessous résume tout ce que vous devez savoir pour traduire la notation d’un intervalle en conditions sur \(x\). C’est votre feuille de route.
| Type d’intervalle | Notation | Condition d’appartenance pour \(x\) | Traduction « en français » |
|---|---|---|---|
| Fermé | \([a, b]\) | \(a \leq x \leq b\) | \(x\) est compris entre \(a\) et \(b\), bornes incluses. |
| Ouvert | \(]a, b[\) | \(a < x < b\) | \(x\) est strictement entre \(a\) et \(b\), bornes exclues. |
| Semi-ouvert à gauche | \([a, b[\) | \(a \leq x < b\) | \(x\) est entre \(a\) (inclus) et \(b\) (exclu). |
| Semi-ouvert à droite | \(]a, b]\) | \(a < x \leq b\) | \(x\) est entre \(a\) (exclu) et \(b\) (inclus). |
Mise en Pratique : Exemples Concrets de Vérification
Passons à la pratique avec des cas concrets. C’est en forgeant qu’on devient forgeron, et en testant des valeurs qu’on comprend les intervalles.
💡 Exemple 1 : Un cas classique
Question : Le nombre \(2\) appartient-il à l’intervalle \([-1, 3]\) ?
Méthode : L’intervalle est \([a, b] = [-1, 3]\). La condition est \(a \leq x \leq b\), soit \(-1 \leq x \leq 3\).
Vérification : On a bien \(-1 \leq 2\) ET \(2 \leq 3\). Les deux inégalités sont vraies.
Conclusion : OUI, \(2 \in [-1, 3]\).
Un contre-exemple est tout aussi instructif :
💡 Exemple 2 : L’importance du « strictement »
Question : Le nombre \(3\) appartient-il à l’intervalle \(]0, 4[\) ?
Méthode : L’intervalle est \(]a, b[ = ]0, 4[\). La condition est \(a < x < b\), soit \(0 < x < 4\).
Vérification : On a bien \(0 < 3\). Mais il faut aussi \(3 < 4\). C'est vrai. Attendez... l'intervalle est ouvert en \(4\). \(3\) est bien strictement inférieur à \(4\), donc la condition est remplie.
Conclusion : OUI, \(3 \in ]0, 4[\). Attention : Une erreur courante est de croire que « ouvert » signifie « ne contient pas les nombres entiers », ce qui est faux. Tout dépend des bornes.
Pour les intervalles infinis, le principe est identique, mais avec une seule borne à vérifier.
Astuce de pro (hors manuel) : Sur votre calculatrice, vous pouvez visualiser l’appartenance. Pour vérifier si \(x\) est dans \([a, b]\), saisissez l’expression \((a \leq x) \text{ et } (x \leq b)\). La calculatrice vous renverra « 1 » (vrai) ou « 0 » (faux). Sur un modèle Casio ou TI, utilisez la fonction « and » dans le menu des tests logiques.
Visualiser pour Mieux Comprendre : La Droite Graduée
Si vous êtes visuel, la méthode graphique est votre alliée. Représenter l’intervalle sur une droite numérique élimine toute ambiguïté. Un point plein (•) indique une borne incluse, un point creux (◦) une borne exclue.
Cette vidéo montre justement comment tester l’appartenance d’un nombre comme \(\sqrt{10}\) à un intervalle en s’aidant d’un axe gradué. C’est une excellente ressource complémentaire.
Cas Particuliers et Pièges à Éviter
Certaines situations sont plus subtiles et méritent une attention particulière.
⚠️ Attention aux Transformations de Fonctions
Lorsqu’un intervalle est l’image d’un autre par une fonction (comme \(x \to 1/x\)), les choses se compliquent. Par exemple, si \(x \in ]-\infty, -4]\), alors \(1/x \in [-1/4, 0[\). Notez que le sens des inégalités s’inverse car la fonction inverse est décroissante sur les réels négatifs, et que 0 est une borne limite jamais atteinte. Dans ces cas, ne devinez pas : étudiez les variations de la fonction ou testez des valeurs limites. C’est une source fréquente d’erreur dans les énoncés plus avancés.
Un autre piège classique concerne les valeurs absolues. L’expression \(|x – c| \leq r\) se traduit directement par l’intervalle fermé \([c – r, c + r]\). Par exemple, \(|x – 5| \leq 2\) équivaut à \(x \in [3, 7]\). C’est une connexion puissante entre géométrie (distance) et algèbre (intervalles).
Comment écrire un intervalle avec des inégalités, et inversement ?
Pour passer de la notation d’intervalle à des inégalités, suivez la règle des crochets. Exemple : L’intervalle \(]-2, 5]\) se traduit par \(-2 < x \leq 5\). Le crochet ouvert à gauche (]) exclut -2, d'où le signe <. Le crochet fermé à droite (]) inclut 5, d'où le signe ≤. Pour faire l'inverse, lisez les inégalités de gauche à droite. Exemple : \(0 \leq x < +\infty\) correspond à \([0, +\infty[\). Le signe ≤ donne un crochet fermé [ à gauche. Le signe < et le symbole infini donnent un crochet ouvert [ à droite. Une source complète sur ce sujet est disponible sur Maths-et-tiques.
Que signifie un crochet ouvert vers l’infini (comme dans ]-∞, a[) ?
Le symbole infini (∞) n’est pas un nombre réel, mais un concept signifiant « au-delà de toute limite ». Par conséquent, il est toujours exclus de tout intervalle. C’est pourquoi on utilise systématiquement un crochet ouvert (] ou [) à côté de lui. L’intervalle \(]-\infty, a[\) désigne donc l’ensemble de tous les nombres réels strictement inférieurs à \(a\) (\(x < a\)). Il n’y a pas de « plus petit » nombre dans cet intervalle. Cette convention universelle est expliquée sur des ressources comme Wikipedia.
Comment vérifier l’appartenance à une union ou une intersection d’intervalles ?
Pour une union (notée ∪), le nombre \(x\) doit appartenir à au moins l’un des intervalles. C’est un « OU » logique. Pour une intersection (notée ∩), \(x\) doit appartenir à tous les intervalles simultanément. C’est un « ET » logique. Exemple : Pour vérifier si \(x=2\) est dans \([-1, 3] \cup ]4, 6[\), testez séparément : est-il dans [-1,3] ? Oui. Donc il appartient à l’union, même s’il n’est pas dans ]4,6[. Pour l’intersection \([-1, 3] \cap ]0, 4[\), il doit vérifier les deux conditions : \(-1 \leq 2 \leq 3\) ET \(0 < 2 < 4\). C'est le cas. Des exercices guidés sont disponibles sur Kartable.
Quelle est la différence entre l’intervalle [a, b] et l’ensemble {a, b} ?
La confusion est fréquente mais la différence est fondamentale. L’intervalle \([a, b]\) contient tous les nombres réels entre \(a\) et \(b\), y compris une infinité de nombres (comme \(a\), \(b\), \(\frac{a+b}{2}\), etc.). L’ensemble \(\{a, b\}\) (notation avec accolades) ne contient que les deux éléments précis \(a\) et \(b\), et rien d’autre. Par exemple, \([2, 5]\) contient le nombre 3.14, tandis que \(\{2, 5\}\) ne le contient pas. Les accolades désignent une liste énumérée, les crochets désignent un continuum de nombres. Pour plus de détails sur les notations ensemblistes, consultez BossetesMaths.
