💡 En bref : La dérivée de la fonction arctan(u), où u est une fonction dérivable de x, est donnée par la formule universelle :
(arctan(u))’ = u’ / (1 + u²)
Cette règle, issue de la dérivation des fonctions composées, est valable sur ℝ et simplifie considérablement l’étude de nombreuses fonctions. Le dénominateur 1+u² étant toujours strictement positif, le signe de la dérivée ne dépend que de celui de u’.
Si vous travaillez avec des fonctions trigonométriques inverses, que ce soit en prépa, à la fac ou pour un projet technique, la fonction arctangente est une incontournable. Sa dérivée, souvent source d’hésitation, suit pourtant une règle remarquablement simple et élégante. Aujourd’hui, on démonte ensemble la formule de la dérivée de arctan(u), ses applications immédiates et les pièges à éviter. Comme d’habitude, on va droit au but.
La formule fondamentale et sa genèse
Pour bien comprendre, il faut revenir à la source. La dérivée de la fonction arctangente de base, arctan(x), est un résultat classique à connaître par cœur :
Rappel essentiel : Pour tout x réel, la dérivée de arctan(x) est 1 / (1 + x²).
D’où vient ce résultat ? Il s’obtient en utilisant le théorème de la dérivée de la fonction réciproque. Si y = arctan(x), alors x = tan(y). En dérivant cette dernière relation par rapport à x, on obtient 1 = (1 + tan²(y)) * y’, ce qui conduit bien à y’ = 1/(1+x²).
Maintenant, dans la pratique, l’argument n’est presque jamais un simple « x ». C’est une fonction, qu’on note u(x). C’est là qu’intervient la règle de dérivation des fonctions composées, aussi appelée « règle de la chaîne ». Le principe est imparable : on dérive la fonction externe (arctan) évaluée en u, puis on multiplie par la dérivée de la fonction interne (u).
⚠️ Point de vigilance universel
La seule condition pour appliquer cette formule est que u soit une fonction dérivable sur l’intervalle qui vous intéresse. Vérifiez toujours la dérivabilité de u en premier lieu, notamment sur les bornes de votre domaine d’étude.
Applications pas à pas : de la théorie à la pratique
La théorie, c’est bien. La voir en action, c’est mieux. Prenons deux exemples concrets pour bien ancrer le mécanisme.
Exemple 1 : Fonction linéaire simple
Soit f(x) = arctan(2x).
✅ On identifie : u(x) = 2x et donc u'(x) = 2.
✅ On applique la formule : f'(x) = u'(x) / [1 + (u(x))²] = 2 / [1 + (2x)²].
✅ On simplifie : f'(x) = 2 / (1 + 4x²).
Exemple 2 : Fonction affine plus complexe
Soit g(t) = arctan(1 + 3t).
✅ On identifie : u(t) = 1 + 3t et donc u'(t) = 3.
✅ On applique : g'(t) = 3 / [1 + (1 + 3t)²].
✅ On s’arrête là ! Il est généralement inutile de développer le dénominateur (1 + (1+3t)²). Sous cette forme factorisée, l’expression est plus lisible pour une éventuelle étude de signe. Comme 1+u² > 0, le signe de g'(t) est simplement celui de u’, soit positif ici.
🎯 Astuce « NathTrig » (hors manuel)
Sur les calculatrices graphiques modernes (TI-Nspire, Casio Graph 90+E), vous pouvez vérifier votre résultat en un clin d’œil. Déclarez votre fonction f(x), puis utilisez l’instruction de dérivation symbolique (comme d(f(x),x)). Confrontez le résultat affiché avec votre calcul. C’est le meilleur moyen de détecter une erreur de signe ou de parenthèse sur le champ.
Comparaison avec les autres fonctions trigonométriques inverses
Pour bien situer arctan dans le paysage des dérivées, un tableau comparatif est éclairant. Retenez que chaque formule dérive de la même logique : dérivée de la fonction externe (arc…) appliquée en u, multipliée par u’.
| Fonction | Dérivée (Formule générale avec u(x)) | Domaine de validité (pour u) |
|---|---|---|
| arcsin(u) | u’ / √(1 – u²) | u ∈ ]-1, 1[ |
| arccos(u) | -u’ / √(1 – u²) | u ∈ ]-1, 1[ |
| arctan(u) | u’ / (1 + u²) | u ∈ ℝ (tout réel) |
La grande force de arctan est son domaine de dérivabilité : tous les réels. Contrairement à arcsin et arccos, il n’y a pas de contrainte de racine carrée ou de dénominateur pouvant s’annuler. C’est pour cela qu’on la rencontre si souvent dans les études de fonctions intégrant une composante trigonométrique inverse.
Propriétés avancées et une application élégante
La dérivée permet de démontrer des identités remarquables. Prenons un cas célèbre, souvent donné en exercice :
Pour x > 0, on a l’identité : arctan(x) + arctan(1/x) = π/2.
Comment le prouver simplement ? En dérivant ! Soit h(x) = arctan(x) + arctan(1/x). Sa dérivée est : h'(x) = 1/(1+x²) + [ -1/x² / (1 + (1/x)²) ]. Un peu d’algèbre montre que cette somme est nulle. La fonction h est donc constante sur ]0, +∞[. En l’évaluant en x=1 (arctan(1)=π/4), on trouve bien la constante π/2. Une belle démonstration qui repose entièrement sur la maîtrise de la formule de dérivation.
📈 Pour résumer les points clés :
- 🎯 La formule à graver : (arctan(u))’ = u’ / (1 + u²).
- 🔧 Elle fonctionne pour toute fonction u dérivable.
- ➕ Le dénominateur 1+u² est toujours positif, simplifiant l’étude de signe.
- ⚠️ Ne pas oublier de multiplier par la dérivée de u (u’) – l’erreur la plus courante.
- ✅ Toujours vérifier la dérivabilité de la fonction u sur l’intervalle d’étude.
Quelle est la dérivée de arctan(√x) ou arctan(x²) ?
Le principe est identique. Pour arctan(√x), on pose u(x)=√x, donc u'(x)=1/(2√x). La dérivée est alors [1/(2√x)] / [1 + (√x)²] = 1/(2√x(1+x)). Attention au domaine : x doit être > 0 pour que √x soit dérivable. Pour arctan(x²), u(x)=x² et u'(x)=2x. La dérivée vaut 2x/(1+(x²)²) = 2x/(1+x⁴). Cette fonction est dérivable sur ℝ tout entier. La clé est d’appliquer rigoureusement la formule en identifiant correctement u et en calculant soigneusement u’. Source : DIM Math Innov.
Comment démontrer la formule de la dérivée de arctan(x) de base ?
La démonstration la plus courante utilise la dérivée de la fonction réciproque. On pose y = arctan(x), ce qui équivaut à x = tan(y) avec y ∈ ]-π/2, π/2[. En dérivant implicitement l’égalité x = tan(y) par rapport à x, on obtient 1 = (1 + tan²(y)) * (dy/dx). Puisque 1+tan²(y) = 1+x², on en déduit que dy/dx = 1/(1+x²). Cette démonstration est valable pour tout x réel et est au programme des classes préparatoires et de premier cycle universitaire. Source : SupMath.
La dérivée de arctan(u) peut-elle s’annuler ? Comment étudier son signe ?
Oui, la dérivée (arctan(u))’ = u’/(1+u²) peut s’annuler. Comme le dénominateur 1+u² est toujours strictement positif (pour tout u réel), le signe de la dérivée et ses éventuels zéros dépendent uniquement du numérateur u'(x). Pour étudier le signe de la dérivée, il suffit donc d’étudier le signe de u'(x). La dérivée s’annule exactement aux points où u'(x)=0. Cette propriété simplifie considérablement les tableaux de variations des fonctions contenant un arctangente. Source : DIM Math Innov.
Quelle est la différence entre la dérivée de arctan(x) et celle de arctan(1/x) ?
Ce sont deux fonctions différentes, donc leurs dérivées aussi. Pour f(x)=arctan(x), f'(x)=1/(1+x²). Pour g(x)=arctan(1/x), on est dans le cas arctan(u) avec u(x)=1/x, donc u'(x)=-1/x². La formule donne : g'(x) = (-1/x²) / (1 + (1/x)²). En simplifiant par x² au dénominateur, on trouve g'(x) = -1/(1+x²). Ainsi, on a la relation g'(x) = -f'(x). Ceci est cohérent avec l’identité arctan(x) + arctan(1/x) = constante (π/2 ou -π/2 selon le signe de x), dont la dérivée est bien nulle. Source : Université de Toulouse.
