En bref : Pour deux matrices carrées \(A\) et \(B\) de même taille, la trace du produit \(AB\) est toujours égale à la trace du produit \(BA\), même si \(AB \neq BA\). Cette propriété fondamentale, \(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\), est une conséquence directe de la définition de la trace comme somme des éléments diagonaux et de la commutativité de l’addition. Elle est au cœur de nombreuses identités en algèbre linéaire et trouve des applications en physique quantique et en analyse numérique.
Vous avez probablement tapé « tr AB tr BA » parce que vous avez un doute, ou parce qu’un exercice vous demande de prouver cette égalité. La réponse est claire : oui, c’est vrai. Peu importe que les matrices \(A\) et \(B\) ne commutent pas pour la multiplication, leurs traces en produit seront identiques. Cette propriété est l’une des plus élégantes et utiles en algèbre linéaire, et je vais vous montrer pourquoi et comment elle fonctionne, sans jargon inutile.
La trace, c’est quoi exactement ?
Avant de plonger dans le produit, rappelons ce qu’est la trace. Pour une matrice carrée \(C\) de taille \(n \times n\), avec des éléments notés \(c_{ij}\), la trace est simplement la somme de ses éléments diagonaux :
\[ \operatorname{tr}(C) = c_{11} + c_{22} + \dots + c_{nn} = \sum_{i=1}^{n} c_{ii} \]
C’est une opération linéaire et invariante sous similitude (c’est-à-dire que \(\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}(A)\)). Mais sa propriété la plus surprenante concerne justement le produit de matrices.
La preuve pas à pas de l’égalité tr(AB) = tr(BA)
La magie opère grâce à la commutativité de l’addition des nombres réels (ou complexes). Prenons deux matrices \(A = (a_{ij})\) et \(B = (b_{ij})\) de taille \(n \times n\).
1. Calcul de \(\operatorname{tr}(AB)\) :
L’élément à la position \((i,i)\) (donc diagonal) du produit \(AB\) est donné par :
\[ (AB)_{ii} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{ki} \]
La trace de \(AB\) est la somme de tous ces éléments diagonaux :
\[ \operatorname{tr}(AB) = \sum_{i=1}^{n} (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{ki} \]
2. Calcul de \(\operatorname{tr}(BA)\) :
De même, l’élément diagonal de \(BA\) est :
\[ (BA)_{jj} = \sum_{k=1}^{n} b_{jk} a_{kj} \]
Et sa trace :
\[ \operatorname{tr}(BA) = \sum_{j=1}^{n} (BA)_{jj} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} b_{jk} a_{kj} \]
3. Le tour de passe-passe :
Regardez bien les deux doubles sommes. Pour \(\operatorname{tr}(AB)\), nous additionnons tous les termes de la forme \(a_{ik} b_{ki}\). Pour \(\operatorname{tr}(BA)\), nous additionnons tous les termes de la forme \(b_{jk} a_{kj}\). Ce sont exactement les mêmes produits, mais l’ordre des facteurs est inversé. Puisque la multiplication des nombres est commutative (\(a_{ik}b_{ki} = b_{ki}a_{ik}\)), les deux ensembles de termes sont identiques. En échangeant simplement les noms des indices de sommation (\(i\) devient \(k\) et \(k\) devient \(j\) dans la première somme), on montre que les deux expressions sont égales.
💡 Astuce de pro : Cette propriété est souvent appelée « cyclicité » de la trace. Elle s’étend à des produits plus longs : \(\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA) = \operatorname{tr}(CAB)\). Attention, on ne peut pas réarranger n’importe comment : \(\operatorname{tr}(ABC)\) n’est pas toujours égal à \(\operatorname{tr}(ACB)\). La cyclicité fonctionne par permutation circulaire, pas par échange arbitraire.
Un exemple concret avec des matrices 2×2
Rien ne vaut un exemple numérique pour fixer les idées. Prenons :
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \]
Calculons \(AB\) et \(BA\) :
\[ AB = \begin{pmatrix} 1*5+2*7 & 1*6+2*8 \\ 3*5+4*7 & 3*6+4*8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tr}(AB) = 19 + 50 = 69 \]
\[ BA = \begin{pmatrix} 5*1+6*3 & 5*2+6*4 \\ 7*1+8*3 & 7*2+8*4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tr}(BA) = 23 + 46 = 69 \]
Et voilà ! Les produits \(AB\) et \(BA\) sont différents, mais leurs traces sont identiques.
Propriétés de la trace en un coup d’œil
Pour bien comprendre ce que la trace peut et ne peut pas faire, voici un tableau récapitulatif :
| Propriété | Formule | Vrai ou Faux ? | Explication |
|---|---|---|---|
| Linéarité | \(\operatorname{tr}(A+B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)\) | ✅ Vrai | Découle directement de la définition par somme. |
| Trace d’un produit | \(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\) | ✅ Vrai | L’objet de cet article. Fondamental. |
| Trace d’un produit triple | \(\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA) = \operatorname{tr}(CAB)\) | ✅ Vrai | Extension de la cyclicité (permutation circulaire). |
| Multiplicativité | \(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(A)\operatorname{tr}(B)\) | ❌ Faux en général | C’est une erreur fréquente ! La trace n’est pas multiplicative. |
| Trace du commutateur | \(\operatorname{tr}(AB – BA) = 0\) | ✅ Vrai | Conséquence directe de \(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\). |
Pourquoi cette propriété est-elle si importante ?
Cette égalité n’est pas qu’un simple jeu d’écriture. Elle a des implications profondes :
- 🎯 En algèbre linéaire : Elle permet de démontrer que la trace est invariante par similitude, et donc qu’elle est égale à la somme des valeurs propres. C’est un outil crucial pour l’étude des endomorphismes.
- ⚛️ En physique quantique : La trace est omniprésente dans le formalisme de la mécanique quantique, notamment pour le calcul des valeurs moyennes d’observables. La cyclicité est souvent exploitée pour simplifier des expressions complexes.
- 💻 En analyse numérique et en calcul scientifique : Des inégalités de trace (comme l’inégalité de Araki-Lieb-Thirring) utilisent cette propriété. Elle est également utilisée dans des algorithmes d’optimisation et en théorie des matrices aléatoires.
- 🧮 Dans les problèmes pratiques : Elle offre une vérification rapide dans les calculs de produits matriciels et permet parfois de calculer une trace difficile en échangeant l’ordre d’un produit.
⚠️ Attention aux pièges : Cette propriété n’est valable que pour des matrices carrées de même taille. Si \(A\) est de taille \(m \times n\) et \(B\) de taille \(n \times m\), alors \(AB\) et \(BA\) sont de tailles différentes (carrées \(m \times m\) et \(n \times n\) respectivement). Dans ce cas, on a toujours \(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\), car les deux traces sont bien définies et l’égalité tient toujours. Par contre, si les dimensions ne sont pas compatibles pour les deux produits, la question ne se pose même pas.
Une vidéo pour visualiser la preuve
Parfois, une explication visuelle vaut mille mots. Cette vidéo détaille très bien la preuve par le calcul des indices :
Le mot de la fin (ou presque)
La prochaine fois que vous verrez \(\operatorname{tr}(AB)\), souvenez-vous que vous pouvez librement l’échanger avec \(\operatorname{tr}(BA)\). Cette petite égalité est un pilier silencieux mais solide de l’algèbre linéaire. Gardez-la dans votre boîte à outils, elle vous rendra service, que ce soit pour un examen, une simulation numérique ou pour comprendre un article de physique.
Est-ce que tr(AB) = tr(BA) est vrai pour toutes les matrices, même non carrées ?
Oui, mais avec une condition de compatibilité des dimensions. Si \(A\) est une matrice \(m \times n\) et \(B\) une matrice \(n \times m\), alors le produit \(AB\) est une matrice carrée \(m \times m\) et \(BA\) est une matrice carrée \(n \times n\). Dans ce cas, l’égalité \(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\) reste vraie. La preuve par double sommation fonctionne toujours. Cependant, si les dimensions ne sont pas compatibles pour former les deux produits (par exemple, si le nombre de colonnes de A est différent du nombre de lignes de B), alors l’un des deux produits n’est pas défini et la question n’a pas de sens. Source : Wikipédia – Trace d’un produit.
Peut-on généraliser cette propriété à plus de deux matrices ? Par exemple, tr(ABC) = tr(ACB) ?
Non, il faut être prudent. La propriété s’appelle « cyclicité » et elle fonctionne par permutation circulaire, pas par échange arbitraire. Ainsi, on a toujours : \(\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA) = \operatorname{tr}(CAB)\). Par contre, \(\operatorname{tr}(ABC)\) n’est pas égal à \(\operatorname{tr}(ACB)\) en général. Un contre-exemple avec des matrices 2×2 le montre facilement. Cette nuance est cruciale lors de manipulations algébriques. Source : Notes sur les propriétés de la trace (Purdue).
En pratique, à quoi sert cette égalité dans les calculs numériques ou en physique ?
Cette propriété est extrêmement utile pour simplifier des expressions complexes. En physique quantique, la valeur moyenne d’un opérateur s’exprime souvent comme une trace. La cyclicité permet de réarranger les opérateurs sous la trace pour faciliter le calcul ou pour mettre en évidence des simplifications. En calcul numérique, si le calcul de \(AB\) est plus coûteux que celui de \(BA\) (par exemple à cause des dimensions), on peut choisir de calculer la trace du produit le plus rapide. Elle est également fondamentale pour démontrer des inégalités importantes en théorie des matrices. Source : Applications en physique quantique (Rev. Mod. Phys.).
Si tr(AB) = tr(BA), est-ce que cela implique que AB = BA ?
Absolument pas. C’est une erreur classique de logique. L’égalité des traces est une condition beaucoup plus faible que l’égalité des matrices. Comme le montre l’exemple concret avec des matrices 2×2 dans l’article, \(AB\) et \(BA\) peuvent être des matrices totalement différentes tout en ayant la même trace. La trace n’est qu’un seul nombre résumant la matrice (la somme des valeurs propres), alors que l’égalité de matrices nécessite que tous les coefficients soient identiques. Source : Discussion et contre-exemples (Physics Forums).
Que signifie le résultat tr(AB – BA) = 0 ? A-t-il une interprétation particulière ?
Le terme \(AB – BA\) s’appelle le commutateur de \(A\) et \(B\), souvent noté \([A, B]\). L’égalité \(\operatorname{tr}([A, B]) = 0\) est une conséquence immédiate de \(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\). Ce résultat est fondamental : il montre que le commutateur de deux matrices est toujours une matrice de trace nulle. Réciproquement, en algèbre linéaire, on peut montrer que toute matrice de trace nulle peut s’écrire comme un commutateur. Cette idée est centrale dans de nombreux domaines, comme la théorie des algèbres de Lie. Source : Cours sur les commutateurs et la trace (Clemson University).
