📘 Ce qu’il faut retenir sur « inf / inf »
L’expression « inf/inf » prête à confusion car elle recouvre deux concepts mathématiques distincts selon le contexte :
- 🔍 En Calcul des Limites : Il s’agit de la forme indéterminée \( \frac{\infty}{\infty} \). Elle apparaît quand le numérateur et le dénominateur d’une fraction tendent vers l’infini. Le résultat peut être 0, un nombre fini, ou l’infini, et nécessite une analyse spécifique.
- 📐 En Analyse Réelle (Théorie des Ensembles) : « inf » seul, noté souvent inf(A), désigne la borne inférieure (ou infimum) d’un ensemble A. C’est le plus grand des minorants de l’ensemble.
Ne les confondez pas ! Cet article démêle ces deux notions essentielles pour le lycée et les études supérieures.
Si vous tombez sur « inf/inf » dans un exercice ou sur un forum, votre première mission est de décoder le contexte. Est-ce un problème de limite de fonction ou une question sur les bornes d’un ensemble ? Cette simple distinction vous évitera bien des erreurs. Nous allons explorer en détail ces deux facettes, avec des méthodes claires et des exemples concrets, comme on aime le faire ici.
Partie 1 : inf/inf comme forme indéterminée \( \frac{\infty}{\infty} \)
Dans le langage du calcul infinitésimal, « inf/inf » est un raccourci pour désigner une situation où la règle simple « la limite d’un quotient est le quotient des limites » ne s’applique pas. Quand vous obtenez directement \( \frac{\infty}{\infty} \) en remplaçant, c’est un signal : « Stop, il faut creuser davantage ».
Pourquoi est-ce indéterminé ? Parce que l’infini n’est pas un nombre, mais un comportement. Un numérateur qui « explose » vers l’infini peut être dominé ou non par un dénominateur qui fait de même. Tout est une question de vitesse de croissance relative.
💡 Astuce de pro (hors manuel) : Sur votre calculatrice, si vous tentez de calculer une expression qui mène à ∞/∞, elle affichera souvent une erreur ou « undef ». C’est normal ! Elle vous signale qu’elle ne peut pas trancher sans analyse supplémentaire. Ne prenez pas un message d’erreur pour une fin en soi, mais comme le début du raisonnement.
Les méthodes pour lever l’indétermination
Plusieurs outils sont à votre disposition. Le choix dépend de la forme de la fonction.
- 🎯 Factorisation par le terme dominant : La méthode reine pour les fonctions rationnelles (fractions de polynômes). On factorise par la plus haute puissance de x en jeu.
- 📈 La règle de L’Hôpital (ou L’Hôpital-Bernoulli) : Un couteau suisse puissant lorsque la fonction est sous forme « 0/0 » ou « ∞/∞ ». Elle consiste à dériver séparément le numérateur et le dénominateur.
- ⚖️ Comparaison et théorèmes des gendarmes : Pour les fonctions plus exotiques, on peut encadrer l’expression.
- ➗ Utilisation de quantités conjuguées : Particulièrement utile lorsque des racines carrées sont impliquées.
Exemple pas à pas : Fonction rationnelle
Prenons \( \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^3 – 2x + 1}{5x^3 + x^2} \). En remplaçant naïvement, on a \( \frac{+\infty}{+\infty} \).
- Identifier le terme de plus haut degré : Ici, \( x^3 \) dans le numérateur et le dénominateur.
- Diviser haut et bas par ce terme : \[ \frac{3x^3 – 2x + 1}{5x^3 + x^2} = \frac{\frac{3x^3}{x^3} – \frac{2x}{x^3} + \frac{1}{x^3}}{\frac{5x^3}{x^3} + \frac{x^2}{x^3}} = \frac{3 – \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{5 + \frac{1}{x}} \]
- Passer à la limite : Quand \( x \to +\infty \), les termes en \( \frac{1}{x^n} \) tendent vers 0. \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3 – \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{5 + \frac{1}{x}} = \frac{3 – 0 + 0}{5 + 0} = \frac{3}{5} \]
Conclusion : La limite est finie et vaut \( \frac{3}{5} \). Lorsque les degrés sont égaux, la limite est simplement le rapport des coefficients dominants.
Exemple avec une racine carrée et L’Hôpital
Considérons \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x} \). À nouveau, forme \( \frac{+\infty}{+\infty} \).
Méthode 1 (Factorisation) :
- Factoriser \( x^2 \) sous la racine : \[ \frac{\sqrt{x^2(4 + \frac{1}{x^2})}}{x} = \frac{|x| \sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}}{x} \]
- Puisque \( x \to +\infty \), \( |x| = x \). On simplifie : \[ \frac{x \sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}}{x} = \sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} \]
- La limite est donc \( \sqrt{4 + 0} = 2 \).
Méthode 2 (Règle de L’Hôpital) :
- Vérifier la forme ∞/∞ : OK.
- Dériver séparément :
- Dérivée du numérateur : \( \frac{1}{2\sqrt{4x^2+1}} \cdot 8x = \frac{4x}{\sqrt{4x^2+1}} \)
- Dérivée du dénominateur : \( 1 \)
- La nouvelle limite est \( \lim_{x \to +\infty} \frac{4x}{\sqrt{4x^2+1}} \). C’est à nouveau ∞/∞ ! On applique L’Hôpital une seconde fois ou, plus astucieux, on factorise comme avant pour trouver… 2.
📝 Leçon à retenir : La règle de L’Hôpital n’est pas toujours la méthode la plus rapide. Parfois, une simple factorisation algébrique est plus efficace et moins risquée (erreurs de dérivées). Utilisez-la en priorité pour les fonctions rationnelles.
Partie 2 : « inf » comme infimum (borne inférieure)
Changeons complètement de registre. En analyse réelle, « inf » est une abbréviation pour « infimum ». C’est une notion fondamentale pour étudier les propriétés des ensembles de nombres.
Définition intuitive : L’infimum d’un ensemble \( A \subset \mathbb{R} \), noté \( \inf(A) \), est la plus grande de toutes les bornes inférieures de A. Autrement dit, c’est le nombre le plus grand qui reste inférieur ou égal à tous les éléments de A.
🤔 Pour visualiser : Imaginez que l’ensemble A soit une nuée de points sur une droite numérique. L’infimum est comme un mur que l’on pousse vers le haut depuis moins l’infini. Dès qu’il touche le point le plus bas (ou s’en rapproche au plus près sans le dépasser), on s’arrête. La position de ce mur est l’infimum.
Infimum vs Minimum : la subtilité
C’est ici que ça se corse. La différence entre l’infimum (inf) et le minimum (min) est cruciale :
| Infimum (inf) | Minimum (min) |
|---|---|
| Borne inférieure la plus grande. | Plus petit élément de l’ensemble. |
| N’appartient pas nécessairement à l’ensemble A. | Appartient forcément à l’ensemble A. |
| Toujours existe (peut être -∞). | N’existe pas toujours. |
| Exemple : Pour A = ]0, 1[, inf(A) = 0. | Exemple : Pour A = ]0, 1[, min(A) n’existe pas. |
| Exemple : Pour A = [2, 5], inf(A) = 2. | Exemple : Pour A = [2, 5], min(A) = 2. |
En résumé : Le minimum est un infimum qui a la bonne idée d’être dans le club. Si l’infimum est dans l’ensemble, alors c’est aussi le minimum.
Propriétés et exemples concrets
- ✅ Unicité : Si un infimum existe, il est unique.
- ✅ Relation d’ordre : Si \( A \subset B \), alors \( \inf(B) \leq \inf(A) \). La borne inférieure d’un grand ensemble est plus petite (ou égale).
- ✅ Lien avec le supremum : \( \inf(-A) = -\sup(A) \), où \( -A = \{-x / x \in A\} \). Une propriété très utile en pratique.
Exemple d’application : Trouvons l’infimum de l’ensemble \( A = \{ \frac{1}{n} \, | \, n \in \mathbb{N}^* \} = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, … \} \).
- Les éléments sont tous positifs, donc 0 est une borne inférieure.
- Est-ce la plus grande ? Oui, car pour tout \( \epsilon > 0 \) (aussi petit soit-il), on peut toujours trouver un entier \( n \) tel que \( \frac{1}{n} < 0 + \epsilon \). Il suffit de prendre \( n > \frac{1}{\epsilon} \).
- Donc \( \inf(A) = 0 \).
- 0 n’appartient pas à A (aucun 1/n n’est nul). Ainsi, inf(A) existe mais min(A) n’existe pas.
Quelle est la différence principale entre inf (infimum) et min (minimum) ?
La différence fondamentale est l’appartenance à l’ensemble. Le minimum d’un ensemble A est le plus petit élément de A, et il doit donc appartenir à A. L’infimum est la plus grande borne inférieure de A, c’est-à-dire le plus grand nombre qui est inférieur ou égal à tous les éléments de A, mais il n’a pas l’obligation d’appartenir à A. Ainsi, le minimum, s’il existe, est toujours aussi l’infimum. Mais l’infimum peut exister sans que le minimum n’existe, comme pour l’intervalle ouvert ]0, 1[ dont l’infimum est 0 (qui n’est pas dans l’intervalle). Pour une explication détaillée, consultez cette ressource sur les bornes sup et inf.
Comment résoudre concrètement une limite de la forme ∞/∞ ?
Il existe plusieurs méthodes, le choix dépend de la fonction. Pour une fonction rationnelle (quotient de polynômes), la méthode la plus simple est de factoriser par le terme de plus haut degré en haut et en bas, puis de simplifier. Si les degrés sont égaux, la limite est le rapport des coefficients dominants. Pour des fonctions plus complexes (avec des racines, des exponentielles…), la règle de L’Hôpital (dériver séparément numérateur et dénominateur) est souvent efficace, mais il faut vérifier que l’on reste dans une forme indéterminée 0/0 ou ∞/∞ après dérivation. Une vidéo explicative avec un exemple de factorisation sous la racine est disponible sur cette chaîne YouTube dédiée aux limites.
L’infimum d’un ensemble peut-il être infini ?
Oui, absolument. Un ensemble qui n’est pas minoré (c’est-à-dire qui n’a aucune borne inférieure finie) a par convention un infimum égal à -∞. Par exemple, l’ensemble des nombres entiers relatifs ℤ n’est minoré par aucun nombre réel : on peut trouver des éléments aussi petits que l’on veut. Dans ce cas, on écrit \( \inf(ℤ) = -\infty \). De même, l’ensemble vide a parfois pour convention \( \inf(\varnothing) = +\infty \), mais cela dépend des définitions adoptées. Cette convention assure la cohérence de certaines propriétés algébriques. Pour une définition formelle, vous pouvez vous référer à ce cours sur les bornes supérieures et inférieures.
La règle de L’Hôpital fonctionne-t-elle à tous les coups pour ∞/∞ ?
Non, elle ne fonctionne que sous conditions spécifiques. Elle s’applique aux limites de la forme « 0/0 » ou « ∞/∞ » lorsque les fonctions au numérateur et au dénominateur sont dérivables au voisinage du point considéré (sauf peut-être en ce point) et que la limite du quotient des dérivées existe (ou est infinie). Il faut aussi que le dénominateur dérivé ne s’annule pas. Si après application on retombe sur une forme indéterminée, on peut l’appliquer plusieurs fois de suite, à condition que les conditions restent vérifiées. Il est important de noter que parfois, une simplification algébrique préalable est plus rapide et moins sujette aux erreurs de calcul. Un forum de maths discute de cas concrets où son application est délicate : voir cette discussion.
