📊 Fiche Récap : Tout savoir sur x(ln x)²
Expression : Produit de \(x\) par le carré du logarithme népérien de \(x\).
Dérivée : \(\frac{d}{dx}[x (\ln x)^2] = (\ln x)^2 + 2 \ln x\).
Intégrale indéfinie : \(\int x (\ln x)^2 \, dx = \frac{1}{2} x^2 (\ln x)^2 – \frac{1}{2} x^2 \ln x + \frac{1}{4} x^2 + C\).
Limites importantes :
- \(\lim_{x \to 0^+} x (\ln x)^2 = 0\)
- \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{(\ln x)^2} = +\infty\)
Domaine de définition : \(x > 0\).
Si vous êtes tombé sur l’expression \(x (\ln x)^2\), c’est probablement dans un problème de calcul intégral ou différentiel. C’est une fonction classique qui sert de terrain d’entraînement parfait pour maîtriser l’intégration par parties et la dérivation de produits. Dans cet article, on va décortiquer ensemble tout ce qu’il faut savoir : comment la dériver, l’intégrer, comprendre son comportement et surtout, éviter les pièges courants. Accrochez-vous, c’est parti pour un tour d’horizon complet et pratique.
Calculer la dérivée de x(ln x)²
Commençons par le plus simple : la dérivation. La fonction est un produit de deux termes : \(u = x\) et \(v = (\ln x)^2\). La règle du produit \((uv)’ = u’v + uv’\) est notre alliée.
On calcule sans peine :
\(u’ = 1\).
Pour \(v’\), on a une composition : \(v = [\ln x]^2\). La dérivée est \(v’ = 2 \ln x \times \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x}\).
En appliquant la formule :
\((x (\ln x)^2)’ = 1 \cdot (\ln x)^2 + x \cdot \frac{2 \ln x}{x} = (\ln x)^2 + 2 \ln x\).
💡 Astuce de vérification : Après un calcul de dérivée, testez avec une valeur simple comme \(x=e\) (où \(\ln e = 1\)). Ici, pour \(x=e\), la dérivée vaut \(1^2 + 2\times1 = 3\). Vous pouvez vérifier rapidement avec une calculatrice graphique en calculant le taux d’accroissement autour de \(e\).
Cette dérivée est souvent source d’erreur, notamment en confondant la dérivée de \((\ln x)^2\) avec celle de \(\ln(x^2)\). Retenez bien :
- ✅ Pour \((\ln x)^2\) : dérivée = \(2 \frac{\ln x}{x}\).
- ❌ Pour \(\ln(x^2)\) : dérivée = \(\frac{2}{x}\).
Intégrer x(ln x)² : la méthode par parties en détail
C’est le cœur du sujet. L’intégrale \(\int x (\ln x)^2 \, dx\) s’obtient en appliquant deux fois de suite l’intégration par parties. Voici la marche à suivre, étape par étape.
🎯 Résultat final à connaître :
\(\int x (\ln x)^2 \, dx = \frac{1}{2} x^2 (\ln x)^2 – \frac{1}{2} x^2 \ln x + \frac{1}{4} x^2 + C\)
C’est la primitive générale. N’oubliez pas la constante \(C\) !
Première intégration par parties
On pose :
\(u = (\ln x)^2\) donc \(du = \frac{2 \ln x}{x} dx\).
\(dv = x \, dx\) donc \(v = \frac{1}{2} x^2\).
La formule \(\int u \, dv = uv – \int v \, du\) donne :
\(\int x (\ln x)^2 \, dx = \frac{1}{2} x^2 (\ln x)^2 – \int \frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{2 \ln x}{x} dx\).
Simplifions :
\(= \frac{1}{2} x^2 (\ln x)^2 – \int x \ln x \, dx\).
Seconde intégration par parties (pour \(\int x \ln x \, dx\))
On s’attaque maintenant à \(\int x \ln x \, dx\). Nouveau choix :
\(u = \ln x\) donc \(du = \frac{1}{x} dx\).
\(dv = x \, dx\) donc \(v = \frac{1}{2} x^2\).
On applique à nouveau :
\(\int x \ln x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \ln x – \int \frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2} x^2 \ln x – \frac{1}{2} \int x \, dx\).
D’où :
\(\int x \ln x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \ln x – \frac{1}{4} x^2\).
Assemblage du résultat final
On remplace dans l’expression obtenue après la première partie :
\(\int x (\ln x)^2 \, dx = \frac{1}{2} x^2 (\ln x)^2 – \left( \frac{1}{2} x^2 \ln x – \frac{1}{4} x^2 \right) + C\).
Soit, après distribution du signe moins :
\(\int x (\ln x)^2 \, dx = \frac{1}{2} x^2 (\ln x)^2 – \frac{1}{2} x^2 \ln x + \frac{1}{4} x^2 + C\).
⚠️ Point de vigilance : Lors de la première intégration par parties, le choix de \(u\) et \(dv\) est crucial. Poser \(u = (\ln x)^2\) et \(dv = x dx\) est la stratégie gagnante. Inverser (\(u=x\), \(dv=(\ln x)^2 dx\)) mène à une impasse car l’intégrale de \((\ln x)^2\) est plus complexe.
Pour visualiser le processus, cette vidéo explique très bien les étapes :
Comparaison des méthodes de résolution
Plusieurs ressources en ligne abordent ce calcul. Voici un aperçu des approches :
| Source / Outil | Méthode utilisée | Avantages |
|---|---|---|
| Symbolab | Intégration par parties avec étapes automatisées | Solution pas à pas, graphique de la fonction inclus. |
| Vidéo YouTube (tutoriel) | Substitution \(u = \ln x\) puis intégration par parties | Explication visuelle rapide, vérification par dérivation. |
| Forums (Futura-Sciences) | Discussion sur le choix de \(u\) et \(dv\) | Éclairage sur les erreurs courantes, approche communautaire. |
Comportement et limites de la fonction
Comprendre les limites de \(x (\ln x)^2\) est essentiel, surtout aux bornes de son domaine (\(x \to 0^+\) et \(x \to +\infty\)).
- 🔵 En 0+ : On sait que \(\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty\), donc \((\ln x)^2 \to +\infty\). Mais \(x \to 0\). Le produit \(x (\ln x)^2\) tend vers 0. C’est une forme indéterminée « 0 × ∞ » qui se résout par un changement de variable (par exemple \(t = 1/x\)) ou par la règle de L’Hôpital. Le résultat est bien 0.
- 🟢 En +∞ : La fonction croît plus vite que toute puissance du logarithme, mais moins vite qu’un polynôme en \(x\). Comparons avec \(x\) : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x (\ln x)^2}{x} = \lim_{x \to +\infty} (\ln x)^2 = +\infty\). Donc \(x (\ln x)^2\) diverge vers +∞, mais moins rapidement que \(x^2\) par exemple.
- 🟠 Limite connexe : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{(\ln x)^2} = +\infty\). Cela montre que la croissance polynomiale (\(x\)) l’emporte sur le carré logarithmique au dénominateur.
Applications et exercices typiques
Cette fonction n’est pas qu’un exercice de style. Elle apparaît dans des contextes comme :
- ✨ Le calcul d’aires sous une courbe dans des problèmes de probabilités ou de physique.
- ✨ L’étude comparative des vitesses de croissance (hiérarchie des fonctions).
- ✨ La résolution d’équations différentielles par des méthodes de quadrature.
Un exercice classique est de trouver l’intégrale définie \(\int_{1}^{e} x (\ln x)^2 \, dx\). Il suffit d’appliquer la primitive trouvée et d’évaluer entre les bornes. Je vous laisse le faire à titre d’entraînement !
Quelle est la dérivée de x(ln x)² ?
La dérivée de \(x (\ln x)^2\) est \((\ln x)^2 + 2 \ln x\). Pour l’obtenir, on applique la règle du produit : \((uv)’ = u’v + uv’\) avec \(u = x\) et \(v = (\ln x)^2\). La dérivée de \((\ln x)^2\) est \(2 \frac{\ln x}{x}\). Un détail important : ne pas confondre avec la dérivée de \(\ln(x^2)\). Pour plus d’explications sur les règles de dérivation des fonctions logarithmiques, vous pouvez consulter ce cours détaillé.
Comment intégrer x(ln x)² étape par étape ?
L’intégrale s’obtient par deux intégrations par parties successives. Première étape : posez \(u = (\ln x)^2\) et \(dv = x dx\). Vous obtenez \(\int x (\ln x)^2 dx = \frac{1}{2} x^2 (\ln x)^2 – \int x \ln x dx\). Pour la seconde intégrale, appliquez à nouveau l’intégration par parties sur \(\int x \ln x dx\). Le résultat final est \(\frac{1}{2} x^2 (\ln x)^2 – \frac{1}{2} x^2 \ln x + \frac{1}{4} x^2 + C\). Une vidéo tutoriel montre clairement ce processus en quelques minutes.
Quelle est la limite de x(ln x)² quand x tend vers 0 ?
La limite de \(x (\ln x)^2\) lorsque \(x\) tend vers 0 par valeurs positives est 0. Bien que \((\ln x)^2\) tende vers l’infini, le facteur \(x\) tend vers 0 et « l’emporte ». On peut le démontrer par un changement de variable \(t = -\ln x\) (donc \(x = e^{-t}\)), ce qui transforme l’expression en \(e^{-t} t^2\), dont la limite quand \(t \to +\infty\) est 0. Pour des approfondissements sur les limites logarithmiques, cette discussion forum est éclairante.
Quel est le domaine de définition de la fonction x(ln x)² ?
La fonction \(x (\ln x)^2\) est définie uniquement pour \(x > 0\). En effet, le logarithme népérien \(\ln x\) n’est défini que sur les réels strictement positifs. Mettre au carré ne change pas le domaine. Ainsi, l’intervalle de validité est \((0, +\infty)\). Cette condition est fondamentale avant tout calcul de dérivée, d’intégrale ou de limite. Pour un rappel sur le domaine de définition des fonctions logarithmes, cette ressource explique les règles essentielles.
