📘 Ce qu’il faut retenir immédiatement
Formule essentielle : Pour tout \( x \) dans l’intervalle \([-1, 1]\),
\( \sin(\arccos x) = \sqrt{1 – x^2} \)**
Domaine de validité : \( x \in [-1, 1] \). C’est la contrainte indispensable pour que \( \arccos x \) existe.
Pourquoi cette formule ? En posant \( \theta = \arccos x \), on a par définition \( \cos \theta = x \). Le lien entre sinus et cosinus (identité de Pythagore) et la positivité du sinus sur l’intervalle de l’arccosinus nous conduisent directement à ce résultat.
L’astuce en plus : Cette formule transforme une composition de fonctions trigonométriques inverses en une expression algébrique simple, très utile pour dériver, intégrer ou simplifier des calculs.
Démonstration pas à pas de sin(arccos x)
La formule \( \sin(\arccos x) = \sqrt{1 – x^2} \) n’est pas magique, elle découle logiquement des définitions et d’une identité fondamentale. Suivons la démarche, point par point.
La clé est de se débarrasser des fonctions trigonométriques inverses en revenant à un angle. C’est la méthode la plus sûre et universelle.
- 🎯 Étape 1 : Poser un angle. On définit \( \theta = \arccos x \).
- 🔗 Étape 2 : Traduire la définition. Si \( \theta = \arccos x \), alors par définition de la fonction arccosinus :
- \( \cos \theta = x \)
- \( \theta \in [0, \pi] \) (c’est l’intervalle de définition principal de l’arccosinus).
- 📐 Étape 3 : Utiliser l’identité de Pythagore. Pour n’importe quel angle \( \theta \), on a l’identité fondamentale :
\( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \).
- 🧮 Étape 4 : Remplacer et isoler. On sait que \( \cos \theta = x \). En injectant dans l’identité :
\( \sin^2 \theta + x^2 = 1 \)
donc \( \sin^2 \theta = 1 – x^2 \).
Jusqu’ici, nous avons \( \sin^2 \theta \). Pour obtenir \( \sin \theta \), il faut prendre la racine carrée. Et c’est là que la condition \( \theta \in [0, \pi] \) devient absolument cruciale.
⚠️ Attention au signe de la racine !
Sur l’intervalle \( [0, \pi] \) (qui est celui de \( \theta = \arccos x \)), le sinus est toujours positif ou nul. En effet :
- De \(0\) à \(\pi\) (soit de 0° à 180°), le sinus est positif ou nul.
- Il ne devient négatif qu’au-delà de \(\pi\), ce qui n’est pas le cas ici.
Ainsi, \( \sin \theta \geq 0 \). Nous devons donc choisir la racine carrée positive : \( \sin \theta = \sqrt{1 – x^2} \).
Finalement, puisque \( \theta = \arccos x \), on obtient bien :
\( \sin(\arccos x) = \sqrt{1 – x^2} \)**
Comprendre géométriquement : le cercle trigonométrique
Une image vaut souvent mieux qu’un long discours. La relation devient évidente sur le cercle trigonométrique.
Sur le cercle trigonométrique (rayon = 1) :
- Si \( \theta = \arccos x \), alors \( \cos \theta = x \). Sur le cercle, le cosinus est la projection sur l’axe horizontal. On a donc un point d’abscisse \( x \).
- L’ordonnée de ce point est précisément \( \sin \theta \).
- Le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé nous donne immédiatement : \( (\sin \theta)^2 + x^2 = 1^2 \), donc \( \sin \theta = \sqrt{1 – x^2} \) (l’ordonnée étant positive sur la moitié supérieure du cercle, correspondant à \( \theta \in [0, \pi] \)).
🎬 Démonstration en vidéo
Cette vidéo en français reprend de manière claire et visuelle la démonstration géométrique sur le cercle trigonométrique, parfaite pour bien ancrer le concept.
Comparaison avec l’identité « sœur » : cos(arcsin x)
Il existe une identité très similaire, souvent source de confusion. Mettons-les côte à côte pour bien les distinguer.
| Expression | Simplification | Domaine de validité | Intervalle de l’angle | Signe garanti |
|---|---|---|---|---|
| \( \sin(\arccos x) \)** | \( \sqrt{1 – x^2} \) | \( x \in [-1, 1] \) | \( \arccos x \in [0, \pi] \) | Positif ou nul (Sinus ≥ 0 sur [0,π]) |
| \( \cos(\arcsin x) \)** | \( \sqrt{1 – x^2} \) | \( x \in [-1, 1] \) | \( \arcsin x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) | Positif ou nul (Cosinus ≥ 0 sur [-π/2, π/2]) |
Le résultat algébrique est identique (\( \sqrt{1 – x^2} \)) ! La différence subtile réside dans la justification du signe positif, qui repose sur l’intervalle de définition différent de l’arcsinus et de l’arccosinus.
💡 Astuce de mémorisation
Ne cherchez pas à apprendre deux formules. Retenez le principe : « La composition sin(arccos) ou cos(arcsin) donne √(1 – x²) ». Le signe est toujours positif car les angles sont choisis (pour arcsin et arccos) dans des intervalles où les fonctions cosinus ou sinus restent positives.
Applications et exemples concrets de calcul
Cette formule n’est pas qu’un exercice de style. Elle est extrêmement pratique pour obtenir une valeur exacte sans calculatrice, pour dériver ou pour simplifier des expressions dans des problèmes d’intégration.
Exemple 1 : Calcul numérique exact
Calculer \( \sin(\arccos(\frac{3}{4})) \).
- On applique directement : \( \sin(\arccos(\frac{3}{4})) = \sqrt{1 – (\frac{3}{4})^2} \).
- Calcul : \( 1 – \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \).
- Donc \( \sin(\arccos(\frac{3}{4})) = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \).
On obtient une valeur exacte et simplifiée, bien plus précise qu’une approximation décimale.
Exemple 2 : Simplification avant dérivation
Dériver la fonction \( f(x) = \sin(\arccos(2x)) \) pour \( x \in [-0.5, 0.5] \).
Plutôt que d’appliquer une lourde formule de dérivation composée, on simplifie d’abord :
- Pour \( u = 2x \in [-1, 1] \), on a \( f(x) = \sin(\arccos(u)) = \sqrt{1 – u^2} = \sqrt{1 – (2x)^2} = \sqrt{1 – 4x^2} \).
- Dériver \( \sqrt{1 – 4x^2} \) est ensuite immédiat avec la dérivée d’une racine :
\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1-4x^2}} \times (-8x) = \frac{-4x}{\sqrt{1-4x^2}} \).
La simplification a rendu le calcul de la dérivée bien plus rapide et moins sujet aux erreurs.
Pourquoi le domaine est-il limité à x ∈ [-1, 1] pour sin(arccos x) ?
La restriction vient de la fonction arccosinus (arccos). Par définition, l’arccosinus d’un nombre n’existe que si ce nombre est compris entre -1 et 1 inclus. En effet, l’arccosinus est la fonction réciproque du cosinus, et le cosinus d’un angle réel prend toujours ses valeurs dans l’intervalle [-1, 1]. Si vous essayez de calculer arccos(2) ou arccos(-1.5), votre calculatrice vous renverra une erreur, car aucun angle réel n’a un cosinus égal à 2. Ainsi, pour que l’expression complète « sin(arccos x) » ait un sens, x doit impérativement appartenir au domaine de définition de arccos, c’est-à-dire [-1, 1]. Voir les domaines des fonctions réciproques.
Pourquoi prend-on la racine carrée positive √(1-x²) et pas la négative ?
Cette décision cruciale est justifiée par l’intervalle de l’angle retourné par la fonction arccosinus. Quand on pose θ = arccos x, on sait que, par convention, θ appartient à l’intervalle [0, π] (soit de 0 à 180 degrés). Or, sur cet intervalle précis, la fonction sinus est toujours positive ou nulle. Elle n’est négative que pour des angles supérieurs à π. Puisque notre θ est garanti être dans [0, π], son sinus (sin θ) est donc garanti être ≥ 0. C’est pourquoi, lorsqu’on résout sin² θ = 1 – x², on doit choisir la solution sin θ = +√(1 – x²) et rejeter la solution négative. C’est une conséquence directe de la définition principale de l’arccosinus. Une démonstration géométrique explique cela visuellement.
Comment calculer sin(arccos(0.6)) sans calculatrice ?
Pour calculer sin(arccos(0.6)) de tête ou sur papier, appliquez directement la formule :
- Identifiez x = 0.6.
- Calculez x² = 0.6² = 0.36.
- Calculez 1 – x² = 1 – 0.36 = 0.64.
- Prenez la racine carrée positive : √0.64 = 0.8.
Quelle est la différence entre sin(arccos x) et cos(arcsin x) ? Le résultat est-il le même ?
Algébriquement, les deux expressions se simplifient en √(1 – x²). La formule est donc identique. Cependant, la justification du signe positif diffère légèrement :
- Pour sin(arccos x) : On utilise que arccos x ∈ [0, π], intervalle où le sinus est positif.
- Pour cos(arcsin x) : On utilise que arcsin x ∈ [-π/2, π/2], intervalle où le cosinus est positif.
