ln(1 – x²) : définition, domaine, dérivée et développement en série expliqués

Décortiquer la fonction ln(1-x²) : domaine, dérivée et astuces de calcul

Vous tombez souvent sur \( \ln(1 – x^2) \) en exercice et vous avez un doute sur son domaine de définition ? Vous cherchez à la dériver rapidement ou à l’évaluer numériquement sans votre calculatrice ? Vous êtes au bon endroit. En tant que spécialiste des outils de calcul, je vais vous guider à travers cette fonction pas à pas, en allant à l’essentiel comme je le fais sur les forums.

Cette fonction, qui combine logarithme et polynôme, est un classique. Mais elle cache quelques pièges, notamment sur son intervalle de validité. Nous allons tout explorer : son domaine, ses variations, ses représentations en série pour les calculs, et je vous donnerai même quelques astuces « hors manuel » que j’ai glanées au fil de mes tests.

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Le domaine de définition : la condition absolue

La toute première chose à vérifier, c’est où la fonction existe. Le logarithme népérien ln(u) n’est défini que pour u > 0. Ici, \( u = 1 – x^2 \).

La condition se résume donc à :

\[ 1 – x^2 > 0 \]

Ce qui équivaut à \( x^2 < 1 \), soit \( |x| < 1 \). Le domaine de \( f(x) = \ln(1 – x^2) \) est donc l’intervalle ouvert ]-1, 1[.

Aux bornes de cet intervalle, la fonction tend vers l’infini négatif :

\[ \lim_{x \to 1^-} \ln(1 – x^2) = -\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -1^+} \ln(1 – x^2) = -\infty \]

En revanche, au centre de l’intervalle, en \( x = 0 \), on a \( f(0) = \ln(1) = 0 \). C’est un point de référence important.

Étude complète : dérivées et allure de la courbe

Maintenant qu’on sait où la fonction vit, étudions son comportement. Pour connaître ses variations et sa forme, on calcule ses dérivées.

Dérivée première et sens de variation

On applique la formule de la dérivée d’une composée : \( (\ln(u))’ = \frac{u’}{u} \). Avec \( u = 1 – x^2 \) et \( u’ = -2x \).

\[ f'(x) = \frac{-2x}{1 – x^2} \]

Le signe de \( f'(x) \) dépend uniquement de celui du numérateur \( -2x \), car le dénominateur \( 1 – x^2 \) est toujours positif sur ]-1, 1[ (c’est justement notre condition d’existence).

• 🔹 Pour \( x < 0 \) : \( -2x > 0 \), donc \( f'(x) > 0 \). La fonction est croissante sur ]-1, 0[.
• 🔹 Pour \( x = 0 \) : \( f'(0) = 0 \). C’est un point critique.
• 🔹 Pour \( x > 0 \) : \( -2x < 0 \), donc \( f'(x) < 0 \). La fonction est décroissante sur ]0, 1[.

Ainsi, \( x=0 \) est un maximum absolu. La valeur en ce point est \( f(0) = 0 \).

Dérivée seconde et concavité

Pour affiner le tracé, calculons la dérivée seconde. En dérivant \( f'(x) = -2x \times (1 – x^2)^{-1} \), on trouve (après simplification) :

\[ f »(x) = \frac{-2(1 + x^2)}{(1 – x^2)^2} \]

Analysons cette expression :

– Le numérateur \( -2(1 + x^2) \) est toujours négatif (car \( 1+x^2 > 0 \)).
– Le dénominateur \( (1 – x^2)^2 \) est toujours positif (un carré).

Conclusion : \( f »(x) < 0 \) sur tout l’intervalle ]-1, 1[. La courbe représentative de \( f \) est donc concave (tournée vers le bas) sur tout son domaine. Cette information est précieuse pour un tracé précis à main levée.

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Le développement en série de Maclaurin : votre allié pour les calculs

Parfois, on a besoin d’une valeur approchée de \( \ln(1 – x^2) \) pour un \( x \) petit, ou on doit intégrer cette fonction dans un contexte plus large. C’est là que le développement en série devient un outil formidable. Il permet d’approximer la fonction par une somme de puissances de x, beaucoup plus simple à manipuler algébriquement.

On part du développement connu, valable pour \( |u| < 1 \) :

\[ \ln(1 – u) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u^n}{n} = -u – \frac{u^2}{2} – \frac{u^3}{3} – \frac{u^4}{4} – \dots \]

Il suffit de poser \( u = x^2 \). Attention, la condition devient \( |x^2| < 1 \), c’est-à-dire encore \( |x| < 1 \), ce qui correspond parfaitement à notre domaine ! On obtient :

\[ \ln(1 – x^2) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x^2)^n}{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n} \]

En écrivant les premiers termes, cela donne :

\[ \boxed{ \ln(1 – x^2) = -x^2 – \frac{x^4}{2} – \frac{x^6}{3} – \frac{x^8}{4} – \frac{x^{10}}{5} – \cdots } \]

Cette série est convergente pour tout x dans ]-1, 1[. Plus x est proche de 0, moins il faut de termes pour une bonne précision.

Lien avec d’autres développements utiles

Il est intéressant de noter la proximité avec le développement de \( \ln(1+x) \), bien connu :

\[ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4} + \cdots \quad (\text{pour } |x| < 1) \]

Notre fonction \( \ln(1 – x^2) \) peut aussi être vue comme la somme \( \ln(1-x) + \ln(1+x) \), ce qui ouvre la voie à d’autres manipulations algébriques intéressantes pour résoudre certains types d’intégrales ou de limites.

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Applications concrètes : résolution et astuces de calcul

Résoudre une équation du type ln(1-x²) = k

Imaginons qu’on vous demande de résoudre \( \ln(1 – x^2) = k \), où \( k \) est un nombre réel donné. La démarche est systématique :

1. Condition d’existence : On doit avoir \( 1 – x^2 > 0 \), donc \( |x| < 1 \).
2. Utiliser l’exponentielle : L’équation est équivalente à \( 1 – x^2 = e^k \).
3. Isoler x² : \( x^2 = 1 – e^k \).
4. Condition de réalité : Pour avoir des solutions réelles, il faut \( 1 – e^k \ge 0 \), c’est-à-dire \( e^k \le 1 \) ou encore \( k \le 0 \).
5. Résoudre : \( x = \pm \sqrt{1 – e^k} \).
6. Vérifier le domaine : Comme \( k \le 0 \), on a \( 0 < e^k \le 1 \), donc \( 0 \le 1 – e^k < 1 \). Les racines sont bien dans ]-1, 1[. Si \( k = 0 \), la solution unique est \( x=0 \).

Une astuce « hors manuel » pour les calculatrices anciennes

Sur certaines calculatrices scientifiques anciennes ou basiques, la fonction ln peut être lente, ou vous voudrez peut-être éviter de la composer avec un carré. Pour \( |x| \) petit (disons < 0.3), utiliser les 2 ou 3 premiers termes de la série (\( -x^2 – x^4/2 \)) est souvent plus rapide et suffisamment précis pour de nombreux exercices. J’ai testé cela sur plusieurs modèles, et la différence de vitesse est palpable.

Cette vidéo explore des intégrales liées au logarithme, démontrant l’utilité pratique des développements en série et des changements de variables astucieux, des techniques directement applicables à notre fonction \( \ln(1-x^2) \).

Les pièges à éviter et vérifications finales

Avant de terminer, voici une check-list rapide pour ne pas se tromper :

• ✅ Vérifier systématiquement le domaine \( |x| < 1 \) avant tout calcul. C’est l’erreur la plus fréquente.
• ✅ Se souvenir de la concavité pour les tracés : la courbe est toujours en dessous de ses tangentes.
• ✅ Pour les petites valeurs de x, préférer le développement en série pour des approximations efficaces.
• ✅ Factoriser : \( \ln(1-x^2) = \ln(1-x) + \ln(1+x) \) peut simplifier certaines intégrations ou limites.
• ❌ Ne pas confondre \( \ln(1 – x^2) \) avec \( \ln(1+x^2) \). Cette dernière est définie sur tout ℝ et a un comportement totalement différent (toujours positive, convexe).